Movimiento en una dimension.

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia la geometría del movimiento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino recorrido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como parámetro. La magnitud física masa no interviene en esta descripción. Además surgen como magnitudes físicas derivadas los conceptos de velocidad y aceleración.

 

Para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sistema de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de referencia, que es quien hace la descripción. Para un objeto que se mueve, se pueden distinguir al menos tres tipos de movimientos diferentes: traslación a lo largo de alguna dirección variable pero definida, rotación del cuerpo alrededor de algún eje y vibración. Generalmente el movimiento de traslación en el espacio está acompañado de rotación y de vibración del cuerpo, lo que hace que su descripción sea muy compleja. Por esto, se considera un estudio con simplificaciones y aproximaciones, en el cual se propone un modelo simple para estudiar cada movimiento en forma separada,. La primera aproximación es considerar al cuerpo como una partícula, la segunda es considerar sólo el movimiento de traslación, una tercera aproximación es considerar el movimiento en una sola dirección.

 2.1 DEFINICIONES.

Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos conceptos y variables físicas que se usarán en este curso.

 

Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin considerar las causas que lo producen.

 

Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del tiempo.

 

Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un objeto muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un objeto considerado como un punto matemático sin dimensiones, que tendrá sólo posición, masa y movimiento de traslación. Esto significa que cualquier objeto puede ser considerado como partícula, independiente de su tamaño, considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su movimiento de traslación en torno al Sol.

 

Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio, relativa a un sistema de referencia.

Mecánica

La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. Históricamente, sus conceptos fundamentales se usaron y generalizaron para elaborar otros campos de la física. Por consiguiente, una comprensión de los principios de la mecánica proporciona fundamento para entender toda la física.

Básicamente, la mecánica es el estudio de los objetos materiales. La parte que describe el movimiento se llama cinemática; la parte que relaciona el movimiento con las fuerzas que lo causan y con las propiedades del sistema en movimiento se llama dinámica. En estos apuntes y en el siguiente nos ocuparemos de la cinemática. Primero consideraremos el movimiento en una dimensión y en el siguiente capítulo el movimiento bi y tridimensional.

 

Cinemática de la Partícula

Un objeto real puede girar al ir moviéndose. Por ejemplo una pelota puede girar mientras se mueve como un todo en una trayectoria. También un cuerpo puede vibrar conforme se va moviendo, por ejemplo, una gotita de agua que cae. Esas complicaciones pueden evitarse considerando el movimiento de un cuerpo muy pequeño llamado una partícula. Matemáticamente una partícula se trata como un punto, un objeto sin extensión, de tal manera que no hay que hacer consideraciones de rotaciones ni de vibraciones.

Real y verdaderamente no existe en la naturaleza un objeto sin extensión. Sin embargo, el concepto de “partícula” es muy útil porque los cuerpos reales a menudo se comportan, por lo menos aproximadamente, como si fueran partículas. Un cuerpo no tiene que ser necesariamente “pequeño” en el sentido usual de la palabra para que pueda ser tratado como partícula. Por ejemplo, si consideramos la distancia de la Tierra al Sol, con respecto a esta distancia la Tierra y el Sol pueden considerarse ordinariamente como partículas. Podemos deducir una gran cantidad de información acerca del movimiento del Sol y los planetas, sin error apreciable, tratando esos cuerpos como partículas. Las pelotas, las moléculas y los electrones, pueden tratarse a menudo como partículas. Aún si un cuerpo es demasiado grande para considerarse como partícula para un problema específico, siempre puede considerarse al cuerpo como compuesto por un gran número de partículas y los resultados del movimiento de las partículas pueden ser útiles en el análisis del problema Por consiguiente, como una simplificación, limitaremos por ahora nuestro estudio al movimiento de una partícula. Se puede considerar que los cuerpos reales que tienen sólo movimiento de traslación se comportan como partículas. El movimiento se llama de traslación, si los ejes de un sistema de coordenadas que se imagine rígidamente ligado al objeto, digamos x’ y y’, siempre permanecen paralelos a los ejes de algún sistema de coordenadas fijo, digamos x y y. Por ejemplo, en la Fig.1 mostramos el movimiento de traslación de un objeto plano que se mueve de la posición A a la B y a la C. Nótese que la trayectoria considerada no es necesariamente una línea recta. Nótese también que en todo el movimiento cada punto del cuerpo sufre los mismos movimientos que cualquier otro punto. Podemos suponer que el cuerpo sea una partícula, porque al describir el movimiento de un punto del cuerpo hemos descrito el movimiento del cuerpo en conjunto.

 

Velocidad Media

La velocidad de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. Consideremos que una partícula se mueve de un punto A a otro punto B en un intervalo de tiempo t. Si d representa el vector desplazamiento que une a A y B, la velocidad media de la partícula durante el intervalo se define así:

………………………………………………………….(1)

Una raya sobre un símbolo indica un valor medio para la cantidad de que se trata.

La cantidad  es un vector, porque se obtiene dividiendo el vector entre el escalar t. Por consiguiente, la velocidad tiene tanto dirección como magnitud. La magnitud se expresa en unidades de distancia dividida entre unidades de tiempo, como por ejemplo metros por segundo o kilómetros por hora.

La velocidad dada se llama velocidad media, porque la medida del desplazamiento neto y del tiempo transcurrido no nos dicen nada del movimiento entre A y B. La trayectoria puede haber sido curva o recta, el movimiento pudo haber sido constante o variado (irregular). La velocidad media considera simplemente el desplazamiento total y el tiempo total transcurrido. Por ejemplo, supongamos que una persona sale de su casa a hacer un viaje en auto, y regresa a su casa un tiempo t después de que salió. Nótese que su velocidad media en ese viaje es cero porque su desplazamiento para el intervalo de tiempo particular t es cero.

La ecuación (1) también se puede escribir

x = t………….…………………………………………………………………………(2) de la cual se puede obtener el desplazamiento si se conocen la velocidad media y el intervalo de tiempo.

Si midiéramos el tiempo de llegada a cada uno de los muchos puntos de la ruta seguida entre A y B, podríamos describir el movimiento con mayor detalle. Si la velocidad media resultara igual (en magnitud, dirección y sentido) entre dos puntos cualesquiera a lo largo de la trayectoria, concluiríamos que la partícula se movió con velocidad constante, esto es, a lo largo de una línea recta (dirección constante) y con rapidez uniforme (magnitud constante).

 

Velocidad Instantánea

Supongamos que una partícula se mueve de tal manera que su velocidad media, medida en un gran número de intervalos diferentes de tiempo, no resulta constante. Se dice que esta partícula se mueve con velocidad variable. Entonces tratamos de determinar una velocidad de la partícula en un instante cualquiera, llamada velocidad instantánea.

La velocidad puede variar por cambio de magnitud, por cambio de dirección, por cambio de sentido, o por ambas causas. Aquí sólo trataremos del movimiento en una dimensión, en el cual la velocidad puede cambiar continuamente en magnitud, pero sólo puede dirigirse en uno de los sentidos a lo largo de una línea recta. Para mayor sencillez, consideraremos primero el movimiento de un solo sentido a lo largo de una línea recta.

Escogemos el eje de las x alojado en la línea recta (Fig. 2). Sea x₁, el desplazamiento de la partícula a partir del origen en el tiempo t₁ y sea x₂ el desplazamiento en el tiempo t₂ un poco después. El tiempo transcurrido (t₂ - t₁) lo representamos por ∆t. El desplazamiento durante ese intervalo es x₂ - x₁ o ∆x. Por consiguiente la velocidad media entre los dos puntos es ∆x/∆t. Si hubiéramos escogido un corrimiento diferente, digamos x₃ - x₁ podríamos haber obtenido un resultado diferente, porque la velocidad puede no ser constante en magnitud. Sin embargo, si escogemos el punto x₂ sucesivamente más y más cerca del punto x₁, las relaciones correspondientes ∆x/∆t se aproximarán a un valor límite definido. Aunque el desplazamiento se hace entonces sumamente pequeño, el intervalo de tiempo entre el cual se divide también se hace pequeño y su cociente no es necesariamente una cantidad pequeña. Este valor límite de ∆x/∆t se llama velocidad instantánea del punto x₁, o velocidad de la partícula en el instante t₁.

Si ∆x es el desplazamiento en un intervalo de tiempo ∆t, a partir del tiempo t, la velocidad en el tiempo t es el valor límite a que tiende ∆x/∆t cuando tanto ∆x como ∆t tienden a cero. Entonces si v representa la velocidad instantánea,

La dirección de v es la dirección límite del vector cambio de posición ∆x. Cuando la partícula se mueve en la dirección positiva del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia +x; cuando se mueve en la dirección negativa del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia -x.

En la notación del cálculo, el valor limite ∆x/∆t, cuando t tiende a cero, se escribe dx/dt y se llama la derivada de x con respecto a t. Entonces tenemos

………………………………………………………………………….(3)

La magnitud v de la velocidad instantánea se llama rapidez y es simplemente el valor absoluto de v. Esto es,

Siendo la rapidez la magnitud de un vector, es intrínsecamente positiva.

Nótese que cuando la velocidad es constante la velocidad en cualquier instante es igual a la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo.

Así como una partícula es un concepto físico que hace uso del concepto matemático de punto, igualmente la velocidad es un concepto ‘físico que echa mano del concepto matemático de derivación. De hecho, el cálculo fue inventado originalmente por el físico Inglés Isaac Newton (1642-1727), para tener una herramienta matemática adecuada para tratar los problemas fundamentales de la mecánica. En cambio, algunos conceptos matemáticos abstractos no han encontrado aplicación a la realidad física sino hasta después de haberse desarrollado suficientemente.

 

Aceleración Media

A menudo la velocidad de un cuerpo en movimiento cambia conforme se efectúa el movimiento. Entonces se dice que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración de una partícula es la rapidez con que cambia su velocidad con el tiempo. Si en un instante t una partícula se está moviendo con la velocidad instantánea v_i, y un instante después t se mueve con la velocidad instantánea v_f, la aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo, esto es

…………………………………………………………………………(4)

La cantidad  es un vector, porque se obtiene dividiendo un vector  entre un escalar ∆t. Por consiguiente la aceleración se caracteriza por su magnitud, dirección y sentido. La magnitud de la aceleración se expresa en unidades de velocidad divididas entre unidades de tiempo, como por ejemplo m/s por s (que se escribe m/s² y se lee “metros por segundos al cuadrado”).

Al término  de la ecuación (4) lo llamamos aceleración media, porque no se ha dicho nada de la variación con el tiempo de la velocidad durante el intervalo ∆t. Sólo sabemos el cambio neto de velocidad y el tiempo total transcurrido.

Si el cambio de velocidad (un vector) dividido entre el intervalo de tiempo permaneciera constante, cualesquiera que fueran los intervalos de tiempo en los cuales se midiera la aceleración, tendríamos una aceleración constante. Por consiguiente, la aceleración constante supone que la velocidad cambia siempre m la misma dirección y que la rapidez cambia con el tiempo de manera constante. Si la velocidad permaneciera constante tanto en magnitud como en dirección, la aceleración seria cero.

 

Aceleración Instantánea

Si una partícula se mueve de tal manera que su aceleración media, medida en un gran número de intervalos diferentes no es constante, se dice que la partícula tiene aceleración variable. La aceleración puede variar en magnitud, en dirección o en ambos En tales casos tratamos de determinar la aceleración de la partícula en cualquier momento dado, llamada aceleración instantánea. La aceleración instantánea se define

………………………………………………………………………….(5)

Esto es, la aceleración de una partícula en el tiempo t es el valor límite de ∆v/∆t en el tiempo t, cuando tanto ∆v como ∆t tienden a cero. La magnitud de la aceleración instantánea a es la magnitud de a. La dirección de la aceleración instantánea es la dirección límite del vector cambio de velocidad ∆v.

Nótese que cuando la aceleración es constante la aceleración instantánea es igual a la aceleración media.

Dos casos especiales de movimiento acelerado son de gran interés en física. Uno es el de aceleración constante. En este caso el movimiento es a lo largo de una línea recta (no hay cambio de dirección), pero la rapidez cambia uniformemente con el tiempo.

 

 

 

 

Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante

Para el movimiento en una línea recta, que se llama movimiento rectilíneo, los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración están todos en la misma línea. Por consiguiente sólo necesitamos encontrar las relaciones entre x, v y a considerados como escalares. Un valor negativo de x, v o a, simplemente significará que la cantidad vectorial correspondiente apunta en el sentido negativo de las x. El signo no depende de donde está el vector, sino de la dirección en que apunta (Fig. 3).

 

Consideremos ahora el movimiento rectilíneo con aceleración constante. En el caso de la aceleración constante, la aceleración media  es igual a la aceleración instantánea a, de tal manera que:

…………………………………………………………………………………(6)

 

Sea t₁ = 0 y sea t₂, un valor arbitrario cualquiera del tiempo t. Sea v_o, la velocidad cuando   t = 0 y v la velocidad en el tiempo t. A v_o la llamamos velocidad inicial. Con esas convenciones nuestra ecuación anterior se transforma en

V = Vo + a t ………………………………………………………………………………(7)

Esta ecuación establece que la velocidad V en el tiempo t, es la suma de la velocidad Vo en el tiempo cero más el aumento de velocidad durante el tiempo t, que es at.

La Fig. 4 muestra una gráfica de V en función de t (Fig. 4-b) para una aceleración constante (Fig. 4-a). Nótese que la pendiente de la curva de velocidad es constante de acuerdo con el hecho de que a, que es dv/dt, es constante.